Conjuntos difusos

En la tesis de Jiménez, publicada el año 2012 con el título “Control de temperatura de un horno eléctrico mediante lógica difusa”, se menciona que las primeras diferencias que se hacen evidentes entre los conjuntos clásicos y los conjuntos difusos son las siguientes: (1) La función de pertenencia asociada a los conjuntos clásicos sólo pueden tener dos valores: Cero o uno, mientras que en los conjuntos difusos pueden tener cualquier valor entre cero y uno. (2) Un elemento puede pertenecer, de manera parcial, a un conjunto difuso y simultáneamente pertenecer, de manera parcial al complemento de dicho conjunto. Lo anterior no es posible en los conjuntos clásicos, ya que constituiría una violación al principio del tercer excluido.

Pineda y Vivas, en la tesis publicada el año 2008 con el título “Control de un modelo aerodinámico aplicando sistemas difusos”, complementan la idea mencionando que desde esta perspectiva se puede considerar que la lógica clásica es un caso límite de la lógica difusa. Así pues los conjuntos difusos pueden ser considerados como una generalización de los conjuntos clásicos. La lógica difusa permite tratar información imprecisa, como estatura alta, media o baja de una persona. Así, por ejemplo, un individuo es “bajo” si se tiene una estatura inferior a un metro y sesenta centímetros, un individuo es “mediano” si tiene una estatura superior a un metro y sesenta centímetros e inferior a un metro y ochenta centímetros, y un individuo es “alto” si tiene una estatura superior o igual a un metro y ochenta centímetros, con lo que se lograría una clasificación en conjuntos clásicos. Sin embargo, qué tan grande es la diferencia que existe entre dos individuos, uno con estatura de un metro y setenta y nueve centímetros y otro de un metro y ochenta centímetros, este centímetro de diferencia quizás no represente en la práctica algo significativo, y a pesar de eso los dos individuos han quedado rotulados con etiquetas distintas: Uno es mediano y el otro es alto. Si se optase por efectuar la misma clasificación con conjuntos difusos estos cambios abruptos se evitarían, en atención a que las fronteras entre los conjuntos permitirían cambios graduales en la clasificación. El libro “Redes neuronales y sistemas borrosos”, publicado el año 2007 por los autores Martínez y Sanz, explica que algunos conceptos importantes que rodean a los conjuntos difusos son los siguientes: (1) Etiqueta. Nombre descriptivo usado para identificar un conjunto difuso. (2) Variable lingüística. Es aquélla que puede tomar por valor términos del lenguaje natural como: “Mucho, poco, positivo, negativo, etc.”, que son los calificativos que desempeñan el papel de etiquetas en un conjunto difuso. (3) Universo del discurso. Rango de todos los valores posibles aplicados a una variable lingüística de un conjunto difuso.

Hay que destacar que dentro de la teoría de los conjuntos difusos, un conjunto clásico se considera un caso particular de un conjunto difuso, donde la función de pertenencia únicamente otorga grados de cero y uno a los elementos del dominio. Un ejemplo clásico que pone de relieve esta utilidad del concepto de conjunto difuso y función de pertenencia es el de una variación de la “paradoja del montón” descrita por Klir y sus colegas, en el artículo publicado el año 1997 con el título “Teoría de los conjuntos difusos: Fundamentos y aplicaciones”. En el citado artículo se argumenta que si se tiene un montón de arena y se va quitando los granos uno por uno, habrá un momento donde no se tendrá ya dicho montón. Sin embargo, un montón de arena sin un grano, o dos, o diez, no deja de ser un montón de arena. Desde el punto de vista de la lógica clásica es imposible determinar el límite de granos donde un montón de arena deja de serlo. Este ejemplo representa una de las muchas situaciones donde es inevitable la incertidumbre. Un conjunto difuso queda caracterizado por una función de pertenencia, al igual que un conjunto clásico lo hace por su función característica. La diferencia fundamental estriba en que la función de pertenencia se trata de una aplicación que transforma los objetos del dominio en un valor del intervalo real cero uno, siendo el valor cero la completa exclusión del conjunto. Pueden caracterizarse como funciones de pertenencia discretas aquellas cuyo conjunto de partida es discreto, y funciones de pertenencia continuas aquellas cuyo conjunto de partida es continuo, caso más común.

En la tesis de maestría de Díaz, publicada el año 2014 con el título “Inteligencia artificial y computación blanda: Teoría y aplicaciones” se mencionan algunos conceptos y definiciones consideradas de utilidad para la teoría de los conjuntos difusos: (1) Se define soporte de un conjunto difuso, caracterizado por una función de pertenencia, como el conjunto de elementos del dominio que contiene un mayor o menor grado de pertenencia. (2) La altura de un conjunto difuso, se encuentra caracterizado por una función de pertenencia, definida como el mayor valor que toma esta función de pertenencia, es decir el máximo. En caso de que el conjunto tenga una altura igual a uno, se dice que el conjunto está normalizado. Por otro lado se encuentra el núcleo, el cual se define como el subconjunto de todos los elementos cuyo valor en el conjunto es uno. (3) Se dice que un punto del universo de discurso es un punto de cruce de un conjunto difuso si su grado de pertenencia a dicho conjunto difuso es la mitad de uno. (4) El corte alfa es el conjunto de todos los valores de soporte de un conjunto difuso, tales que son iguales o quedan por encima de un determinado umbral, en el caso de que sean estrictamente iguales se denomina corte alfa estricto.