Logarítmos tercera parte

LOGARITMO DE UN COCIENTE O DE UNA DIVISIÓN

Si se tiene un logaritmo de cualquier base de un número sobre otro se debe realizar la descomposición de cada número y restarlos entre sí; es decir:

log5 (25/5) = log5 25 - log5 5

Consideremos que:

1) logb x = m

2) logb y = n

Se busca:

logb (x/y) = ?

Por definición de logaritmo:

Si logb x = m entonces bm = x

Si logb y = n entonces bn = y

Dividiendo:

bm/bn = x / y

bm-n = x / y

Entonces se tiene:

3) logb (x / y) = m - n

Remplazando 1 y 2 en 3:

logb (x / y) = logb x - logb y

El logaritmo de un cociente o de una división, en base b, es igual a la diferencia entre los logaritmos del dividendo y del divisor.

LOGARITMO DE UNA POTENCIA

Si se tiene un logaritmo de un argumento elevado a una potencia (exponente) de cualquier base se debe realizar la multiplicación del exponente por el logaritmo del argumento original; es decir:

log5 52 = 2 * log5 5

Si logb an = x

Por definición de logaritmo se tiene: bx = an

Suponemos que logb a = y

Por definición de logaritmo se tiene: by = a

Elevando esta última expresión al exponente n, se obtiene: (by)n = an

Entonces: bn*y = an

Aplicando la definición de logaritmos en base b: logb an = n * y ; pero y = logb a

Reemplazando:

logb an = n * logb a

LOGARITMO DE UNA RAIZ

Cuando se tiene el logaritmo de una raíz cualquier sea, se debe aplicar primero la 2da ley de los radicales para obtener un logaritmo de una potencia y aplicar su desarrollo correspondiente; es decir:

logb n√x = logb x1/n

logb n√x = (1/n) * (logb x)

El logaritmo de una raíz, en base b, es igual al logaritmo del radicando, en la misma base, dividido por el índice de la raíz.

2DA LEY DE RADICALES

Cuando se tiene un número elevado a un exponente y a todo esto le sacan una raíz, es igual a la misma base y el exponente es una fracción donde el numerador es el exponente que tiene el número dentro de la raíz y el denominador es el tipo de raíz.

COLOGARITMO

Se denomina cologaritmo de un número (b) positivo en una base dada (a) positiva y diferente de la unidad, como el logaritmo de la inversa de dicho número en esa misma base; es decir:

cologa b = loga (1/b) ; b > 0; a > 0; a ≠ 1

Ejemplo: colog2 (1/8) = log2 8 = log2 23 = 3

ANTILOGARITMO

El antilogaritmo de un número real en una base dada, es el número que resulta de elevar la base al número.

antiloga b = ab , a > 0, a ≠ 1, b R

El antilogaritmo de un número es el número cuyo logaritmo se conoce: En otras palabras, es la operación contraria de hallar el logaritmo de un número.

Ejemplos: antilog2 6 = 26 = 64

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